高考数学试题及答案-高考数学试题及答案解析全国乙卷

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高考数学试题及答案解析

一、选择题

1. 已知函数 f(x) = 2x^2 + bx + 1，若 f(x) 的图像与 x 轴交于两个不同点，则 b 的取值范围是：

A. 1 < b < 4

B. -1 < b < 1

C. -4 < b < -1

D. -∞ < b < -4

答案：A

解析：当 f(x) 与 x 轴交于两个不同点时，根据二次函数的性质可知，判别式 D = b^2 - 4ac > 0。将 a = 2, c = 1 代入，得到 b^2 - 4(2)(1) > 0，即 b^2 - 8 > 0。解得 -√8 < b < √8，化简得 -2√2 < b < 2√2。由于 b 是实数，即 b 的取值范围是 1 < b < 4。

2. 若直线 y = kx + 1 与抛物线 y = x^2 - 4x + 3 相交于两个不同点，则 k 的取值范围是：

A. -1 < k < 1

B. k > 1

C. k < -1

D. -∞ < k < -1 或 1 < k < +∞

答案：D

解析：两个函数相交于两个不同点，即方程 kx + 1 = x^2 - 4x + 3 有两个不同的实根。根据二次方程的判别式，可得 (4 + k)^2 - 4(1)(3) > 0，即 k^2 + 8k - 4 > 0。解得 -∞ < k < -1 或 1 < k < +∞。

二、填空题

1. 设 a 和 b 是正实数，若 a^2 + b^2 = 25，且 a/b = 3/4，则 a 的值是________。

答案：9

解析：根据已知条件可得 (3x)^2 + (4x)^2 = 25，即 9x^2 + 16x^2 = 25，解得 x = 1。代入 a/b = 3/4，可得 a = 3x = 3。

2. 若函数 f(x) = 2x^3 + 5x^2 + 3x + c 有一个零点 x = -2，则常数 c 的值为________。

答案：-24

解析：由已知条件可得 f(-2) = 0，即 2(-2)^3 + 5(-2)^2 + 3(-2) + c = 0，解得 c = -24。

三、解答题

1. 已知函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a > 0，且对任意实数 x，有 f(x) ≥ 0。证明：对任意实数 x，有 b^2 - 4ac ≤ 0。

解答：根据已知条件，对任意实数 x，有 f(x) ≥ 0，即 ax^2 + bx + c ≥ 0。为了使得该不等式对任意实数 x 成立，必须满足判别式 D = b^2 - 4ac ≤ 0。否则，当 D > 0 时，存在实数 x1 和 x2，使得 f(x1) > 0 和 f(x2) < 0，与已知条件矛盾。对任意实数 x，有 b^2 - 4ac ≤ 0。

2. 已知函数 f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c，其中 a, b, c 均为实数。若 f(1) = 2，f'(1) = 3，且 f''(1) = 4，求 a, b, c 的值。

解答：根据已知条件，可得 f(1) = 1 + a + b + c = 2，f'(1) = 3a + 2b + c = 3，f''(1) = 6a + 2b = 4。解以上方程组，得到 a = 1，b = -1，c = 1。

以上为高考数学试题及答案解析的部分内容，希望能对同学们复习备考有所帮助。在备考过程中，要注重理解概念和原理，并多进行习题练习，提高解题能力和应试水平。祝愿大家能够取得优异的成绩！

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